Zadania Maturalne - Pochodne

Zadanie (4 pkt): Oblicz pochodne funkcji:

a) f(x) = 3x⁴ - 2x³ + 5x - 7
b) g(x) = (2x + 1)(x² - 3)
c) h(x) = (x² + 1)/x

a) f(x) = 3x⁴ - 2x³ + 5x - 7

f'(x) = 3·4x³ - 2·3x² + 5·1 - 0
f'(x) = 12x³ - 6x² + 5

b) g(x) = (2x + 1)(x² - 3)

Metoda 1: Wzór na pochodną iloczynu
g'(x) = (2x + 1)'·(x² - 3) + (2x + 1)·(x² - 3)'
g'(x) = 2·(x² - 3) + (2x + 1)·2x
g'(x) = 2x² - 6 + 4x² + 2x
g'(x) = 6x² + 2x - 6

Metoda 2: Najpierw rozwinąć
g(x) = 2x³ - 6x + x² - 3 = 2x³ + x² - 6x - 3
g'(x) = 6x² + 2x - 6 ✓

c) h(x) = (x² + 1)/x

Metoda 1: Wzór na pochodną ilorazu
h'(x) = [(x² + 1)'·x - (x² + 1)·x'] / x²
h'(x) = [2x·x - (x² + 1)·1] / x²
h'(x) = (2x² - x² - 1) / x²
h'(x) = (x² - 1) / x²

Metoda 2: Uprościć najpierw
h(x) = x²/x + 1/x = x + x⁻¹
h'(x) = 1 + (-1)x⁻² = 1 - 1/x² ✓

Zadanie (5 pkt): Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x³ - 3x + 1 w punkcie o odciętej x₀ = 1.

Krok 1: Obliczamy współrzędną y₀

f(1) = 1³ - 3·1 + 1 = 1 - 3 + 1 = -1
Punkt styczności: P(1, -1)

Krok 2: Obliczamy pochodną

f'(x) = 3x² - 3

Krok 3: Obliczamy współczynnik kierunkowy stycznej

a = f'(1) = 3·1² - 3 = 3 - 3 = 0

Krok 4: Zapisujemy równanie stycznej

Wzór: y - y₀ = a(x - x₀)
y - (-1) = 0(x - 1)
y + 1 = 0
y = -1

Odpowiedź: Równanie stycznej: y = -1 (styczna pozioma)

Zadanie (6 pkt): Zbadaj monotoniczność funkcji f(x) = x³ - 3x² - 9x + 5.

Krok 1: Obliczamy pochodną

f'(x) = 3x² - 6x - 9

Krok 2: Znajdujemy miejsca zerowe pochodnej

f'(x) = 0
3x² - 6x - 9 = 0
x² - 2x - 3 = 0
(x - 3)(x + 1) = 0
x₁ = -1, x₂ = 3

Krok 3: Badamy znak pochodnej

f'(x) = 3(x + 1)(x - 3)

Przedział (-∞, -1):
Testujemy x = -2: f'(-2) = 3(-1)(-5) = 15 > 0
f'(x) > 0 → funkcja ROSNĄCA

Przedział (-1, 3):
Testujemy x = 0: f'(0) = 3(1)(-3) = -9 < 0
f'(x) < 0 → funkcja MALEJĄCA

Przedział (3, +∞):
Testujemy x = 4: f'(4) = 3(5)(1) = 15 > 0
f'(x) > 0 → funkcja ROSNĄCA

Odpowiedź:

• Funkcja rosnąca: (-∞, -1] ∪ [3, +∞)
• Funkcja malejąca: [-1, 3]

Zadanie (6 pkt): Wyznacz ekstrema lokalne funkcji f(x) = x⁴ - 8x² + 5.

Krok 1: Obliczamy pierwszą pochodną

f'(x) = 4x³ - 16x = 4x(x² - 4) = 4x(x - 2)(x + 2)

Krok 2: Znajdujemy punkty podejrzane o ekstremum

f'(x) = 0
4x(x - 2)(x + 2) = 0
x₁ = -2, x₂ = 0, x₃ = 2

Krok 3: Obliczamy drugą pochodną

f''(x) = 12x² - 16

Krok 4: Sprawdzamy drugą pochodną w punktach podejrzanych

x₁ = -2:
f''(-2) = 12·4 - 16 = 48 - 16 = 32 > 0
→ MINIMUM LOKALNE
f(-2) = 16 - 32 + 5 = -11
Minimum w (-2, -11)

x₂ = 0:
f''(0) = 0 - 16 = -16 < 0
→ MAKSIMUM LOKALNE
f(0) = 0 - 0 + 5 = 5
Maksimum w (0, 5)

x₃ = 2:
f''(2) = 12·4 - 16 = 32 > 0
→ MINIMUM LOKALNE
f(2) = 16 - 32 + 5 = -11
Minimum w (2, -11)

Odpowiedź:

• Maksimum lokalne: (0, 5)
• Minima lokalne: (-2, -11) i (2, -11)

Zadanie (5 pkt): Wyznacz punkty przegięcia funkcji f(x) = x³ - 6x² + 9x + 1.

Krok 1: Obliczamy pierwszą pochodną

f'(x) = 3x² - 12x + 9

Krok 2: Obliczamy drugą pochodną

f''(x) = 6x - 12

Krok 3: Znajdujemy punkty podejrzane o przegięcie

f''(x) = 0
6x - 12 = 0
x = 2

Krok 4: Sprawdzamy zmianę znaku f''(x)

Dla x < 2: f''(1) = 6 - 12 = -6 < 0 (wklęsła)
Dla x > 2: f''(3) = 18 - 12 = 6 > 0 (wypukła)

Znak się zmienia → jest punkt przegięcia

Krok 5: Obliczamy współrzędną y

f(2) = 8 - 24 + 18 + 1 = 3

Odpowiedź: Punkt przegięcia: (2, 3)

Zadanie (10 pkt): Zbadaj przebieg zmienności funkcji f(x) = x³ - 3x + 2 i naszkicuj jej wykres.

1. Dziedzina:

D = ℝ

2. Miejsca zerowe:

x³ - 3x + 2 = 0
Próbujemy x = 1: 1 - 3 + 2 = 0 ✓
Dzielimy przez (x - 1):
x³ - 3x + 2 = (x - 1)(x² + x - 2) = (x - 1)(x - 1)(x + 2)
x₁ = 1 (podwójny), x₂ = -2

3. Pochodna i monotoniczność:

f'(x) = 3x² - 3 = 3(x² - 1) = 3(x - 1)(x + 1)
f'(x) = 0 dla x = -1 i x = 1

• x ∈ (-∞, -1]: f'(x) > 0 → rosnąca
• x ∈ [-1, 1]: f'(x) < 0 → malejąca
• x ∈ [1, +∞): f'(x) > 0 → rosnąca

4. Ekstrema:

f(-1) = -1 + 3 + 2 = 4 → maksimum lokalne (-1, 4)
f(1) = 1 - 3 + 2 = 0 → minimum lokalne (1, 0)

5. Druga pochodna i wypukłość:

f''(x) = 6x
f''(x) = 0 dla x = 0

• x ∈ (-∞, 0): f''(x) < 0 → wklęsła
• x ∈ (0, +∞): f''(x) > 0 → wypukła

Punkt przegięcia: (0, 2)

6. Granice na krańcach dziedziny:

lim (x→-∞) f(x) = -∞
lim (x→+∞) f(x) = +∞

Zadanie (8 pkt): Z prostokątnego kawałka blachy o wymiarach 12 cm × 16 cm należy wykonać pudełko bez pokrywki przez wycięcie z narożników kwadratów o boku x i zagięcie boków. Jakie powinno być x, aby objętość pudełka była największa?

Krok 1: Zapisujemy wzór na objętość

Wymiary pudełka:
• wysokość: x
• długość dna: 16 - 2x
• szerokość dna: 12 - 2x

V(x) = x(16 - 2x)(12 - 2x)
V(x) = x(192 - 32x - 24x + 4x²)
V(x) = x(4x² - 56x + 192)
V(x) = 4x³ - 56x² + 192x

Krok 2: Dziedzina

x > 0 i 16 - 2x > 0 i 12 - 2x > 0
x > 0 i x < 8 i x < 6
x ∈ (0, 6)

Krok 3: Pochodna

V'(x) = 12x² - 112x + 192

Krok 4: Ekstremum

V'(x) = 0
12x² - 112x + 192 = 0
3x² - 28x + 48 = 0
Δ = 784 - 576 = 208
x₁ = (28 - √208)/6 ≈ 2,26
x₂ = (28 + √208)/6 ≈ 7,07 (poza dziedziną)

V''(x) = 24x - 112
V''(2,26) = 54,24 - 112 < 0 → maksimum ✓

Odpowiedź: x ≈ 2,26 cm lub x = (28 - √208)/6 cm

Zadanie (7 pkt): Dla jakich wartości parametru m funkcja f(x) = x³ + mx² - 3x + 1 ma ekstremum lokalne w punkcie x = 1?

Krok 1: Warunek konieczny

Jeśli funkcja ma ekstremum w x = 1, to f'(1) = 0

Krok 2: Obliczamy pochodną

f'(x) = 3x² + 2mx - 3

Krok 3: Podstawiamy warunek

f'(1) = 0
3·1² + 2m·1 - 3 = 0
3 + 2m - 3 = 0
2m = 0
m = 0

Krok 4: Sprawdzamy czy to na pewno ekstremum

Dla m = 0: f'(x) = 3x² - 3 = 3(x² - 1)
f''(x) = 6x
f''(1) = 6 > 0 → minimum lokalne ✓

Odpowiedź: m = 0

Badanie monotoniczności:

1. Oblicz f'(x)
2. Znajdź f'(x) = 0
3. Zbadaj znak f'(x)
4. f' > 0 → rosnąca, f' < 0 → malejąca

Znajdowanie ekstremów:

1. Znajdź punkty: f'(x) = 0
2. Sprawdź f''(x) w tych punktach
3. f'' > 0 → minimum, f'' < 0 → maksimum
4. Oblicz wartość funkcji

Punkty przegięcia:

1. Oblicz f''(x)
2. Znajdź f''(x) = 0
3. Sprawdź zmianę znaku f''(x)