Zadania Maturalne - Logarytmy

Zadanie (3 pkt): Oblicz:

a) log₂ 64
b) log₃ (1/27)
c) log₅ √5

a) log₂ 64

Szukamy x takiego, że 2ˣ = 64
2⁶ = 64
log₂ 64 = 6

b) log₃ (1/27)

1/27 = 1/3³ = 3⁻³
Szukamy x: 3ˣ = 3⁻³
log₃ (1/27) = -3

c) log₅ √5

√5 = 5^(1/2)
log₅ 5^(1/2) = 1/2 · log₅ 5 = 1/2 · 1
log₅ √5 = 1/2

Zadanie (4 pkt): Rozwiąż równanie:

log₂ x + log₂ (x - 6) = 4

Krok 1: Dziedzina

x > 0 i x - 6 > 0
x > 6

Krok 2: Wykorzystujemy wzór na sumę logarytmów

log₂ x + log₂ (x - 6) = log₂ [x(x - 6)]
log₂ [x(x - 6)] = 4

Krok 3: Usuwamy logarytm

x(x - 6) = 2⁴
x² - 6x = 16
x² - 6x - 16 = 0

Krok 4: Rozwiązujemy równanie kwadratowe

Δ = 36 + 64 = 100
x₁ = (6 - 10)/2 = -2
x₂ = (6 + 10)/2 = 8

Krok 5: Sprawdzamy dziedzinę

x₁ = -2 < 6 - odrzucamy
x₂ = 8 > 6 - akceptujemy

Odpowiedź: x = 8

Zadanie (4 pkt): Rozwiąż równanie:

3^(2x) - 10·3^x + 9 = 0

Krok 1: Podstawienie

Niech t = 3ˣ, gdzie t > 0
Wtedy 3^(2x) = (3ˣ)² = t²

Krok 2: Równanie kwadratowe

t² - 10t + 9 = 0
Δ = 100 - 36 = 64
t₁ = (10 - 8)/2 = 1
t₂ = (10 + 8)/2 = 9

Krok 3: Powrót do zmiennej x

Dla t₁ = 1:
3ˣ = 1 = 3⁰
x₁ = 0

Dla t₂ = 9:
3ˣ = 9 = 3²
x₂ = 2

Odpowiedź: x = 0 lub x = 2

Zadanie (5 pkt): Rozwiąż nierówność:

log₂ (x + 1) > 3

Krok 1: Dziedzina

x + 1 > 0
x > -1

Krok 2: Usuwamy logarytm

Podstawa logarytmu a = 2 > 1, więc funkcja jest rosnąca
log₂ (x + 1) > 3
x + 1 > 2³
x + 1 > 8
x > 7

Krok 3: Uwzględniamy dziedzinę

x > 7 i x > -1
Część wspólna: x > 7

Odpowiedź: x ∈ (7, +∞)

Zadanie (4 pkt): Dla funkcji f(x) = 2·4ˣ - 3 określ:

a) Dziedzinę i zbiór wartości

b) Asymptotę poziomą

c) Czy funkcja jest rosnąca czy malejąca?

a) Dziedzina i zbiór wartości:

Dziedzina: D = ℝ (funkcja wykładnicza określona wszędzie)

Zbiór wartości:
Funkcja 4ˣ > 0 dla każdego x
Więc 2·4ˣ > 0
I 2·4ˣ - 3 > -3
ZW = (-3, +∞)

b) Asymptota pozioma:

lim (x→-∞) 2·4ˣ - 3 = 0 - 3 = -3
y = -3 (asymptota pozioma)

c) Monotoniczność:

Podstawa 4 > 1, więc funkcja 4ˣ jest rosnąca
Mnożenie przez 2 > 0 nie zmienia monotoniczności
Dodanie stałej nie zmienia monotoniczności
Funkcja jest ROSNĄCA

Zadanie (5 pkt): Dla jakich wartości parametru m równanie log₃ (x² - 4x + m) = 0 ma dokładnie jedno rozwiązanie?

Krok 1: Przekształcamy równanie

log₃ (x² - 4x + m) = 0
x² - 4x + m = 3⁰ = 1
x² - 4x + m - 1 = 0
x² - 4x + (m - 1) = 0

Krok 2: Warunek na jedno rozwiązanie

Równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie gdy Δ = 0
Δ = (-4)² - 4·1·(m - 1) = 0
16 - 4m + 4 = 0
20 - 4m = 0
4m = 20
m = 5

Krok 3: Sprawdzamy dziedzinę

Musimy sprawdzić, czy dla m = 5 argument logarytmu jest dodatni
Dla m = 5: x² - 4x + 5
Δ = 16 - 20 = -4 < 0
Parabola (a = 1 > 0) nie ma pierwiastków, więc x² - 4x + 5 > 0 zawsze ✓

Odpowiedź: m = 5

Działania na logarytmach:

• log(xy) = log x + log y (mnożenie → dodawanie)
• log(x/y) = log x - log y (dzielenie → odejmowanie)
• log(xⁿ) = n·log x (potęga → mnożenie)

Równania:

• ZAWSZE wyznacz dziedzinę na początku
• Sprawdź wszystkie rozwiązania w dziedzinie
• W równaniach wykładniczych: sprowadź do tej samej podstawy lub użyj podstawienia