Zadania Maturalne - Kombinatoryka i Prawdopodobieństwo

Zadanie (3 pkt): Na ile sposobów można ustawić 5 książek na półce?

Krok 1: Rozpoznajemy typ zadania

Ustawiamy wszystkie 5 książek, kolejność ma znaczenie
To są permutacje

Krok 2: Obliczamy

P(5) = 5!
5! = 1·2·3·4·5
5! = 120

Odpowiedź: Na 120 sposobów

Zadanie (4 pkt): W wyścigu bierze udział 8 koni. Na ile sposobów mogą zostać obsadzone pierwsze 3 miejsca?

Krok 1: Rozpoznajemy typ

Wybieramy 3 konie z 8, kolejność ma znaczenie (1., 2., 3. miejsce)
To są wariacje bez powtórzeń

Krok 2: Obliczamy

V(8,3) = 8!/(8-3)! = 8!/5!
= (8·7·6·5!)/(5!)
= 8·7·6
= 336

Alternatywnie - zasada mnożenia:
1. miejsce: 8 możliwości
2. miejsce: 7 możliwości (został 1 mniej)
3. miejsce: 6 możliwości
Razem: 8·7·6 = 336 ✓

Odpowiedź: 336 sposobów

Zadanie (5 pkt): W klasie jest 15 uczniów. Ile różnych trzyosobowych zespołów można utworzyć?

Krok 1: Rozpoznajemy typ

Wybieramy 3 osoby z 15, kolejność NIE ma znaczenia (zespół)
To są kombinacje

Krok 2: Obliczamy

C(15,3) = 15!/(3!·12!)
= (15·14·13·12!)/(3!·12!)
= (15·14·13)/(1·2·3)
= (15·14·13)/6
= 2730/6
= 455

Odpowiedź: 455 różnych zespołów

Zadanie (5 pkt): W urnie jest 5 kul białych i 3 kule czarne. Losujemy jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy kulę białą?

Krok 1: Przestrzeń zdarzeń elementarnych

Wszystkich kul: 5 + 3 = 8
|Ω| = 8 (liczba wszystkich możliwości)

Krok 2: Zdarzenie sprzyjające

A = "wylosowano białą kulę"
|A| = 5 (5 kul białych)

Krok 3: Prawdopodobieństwo

P(A) = |A| / |Ω|
P(A) = 5/8
P(A) = 0,625 = 62,5%

Odpowiedź: P(A) = 5/8 = 0,625

Zadanie (6 pkt): Rzucamy dwa razy kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że co najmniej raz wypadnie szóstka?

Metoda 1: Przez zdarzenie przeciwne (łatwiejsza!)

Krok 1: Zdarzenie przeciwne
A = "co najmniej raz wypadła 6"
A' = "ani razu nie wypadła 6" (łatwiej obliczyć!)

Krok 2: P(A')
1. rzut: 5 możliwości (1,2,3,4,5)
2. rzut: 5 możliwości
Wszystkich wyników: 6·6 = 36
Wyników sprzyjających A': 5·5 = 25
P(A') = 25/36

Krok 3: P(A)
P(A) = 1 - P(A')
P(A) = 1 - 25/36
P(A) = 36/36 - 25/36
P(A) = 11/36

Metoda 2: Bezpośrednio (trudniejsza)

A = 6 w pierwszym rzucie ALBO 6 w drugim ALBO w obu
Korzystne: (6,1), (6,2), ..., (6,6) - 6 wyników
+ (1,6), (2,6), ..., (5,6) - 5 wyników (bez (6,6) już policzonej)
Razem: 6 + 5 = 11 wyników
P(A) = 11/36 ✓

Odpowiedź: P(A) = 11/36 ≈ 0,306

Zadanie (7 pkt): W pudełku jest 10 cukierków: 6 czekoladowych i 4 karmelo we. Losujemy losowo 3 cukierki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będą to 2 czekoladowe i 1 karmelowy?

Krok 1: Wszystkie możliwości

Wybieramy 3 cukierki z 10 (kolejność nie ma znaczenia)
|Ω| = C(10,3) = 10!/(3!·7!)
= (10·9·8)/(1·2·3)
= 720/6
= 120

Krok 2: Wybór 2 czekoladowych z 6

C(6,2) = 6!/(2!·4!)
= (6·5)/(1·2)
= 30/2
= 15

Krok 3: Wybór 1 karmelowego z 4

C(4,1) = 4

Krok 4: Zdarzenia sprzyjające

Zasada mnożenia:
|A| = C(6,2) · C(4,1)
|A| = 15 · 4
|A| = 60

Krok 5: Prawdopodobieństwo

P(A) = |A| / |Ω|
P(A) = 60/120
P(A) = 1/2 = 0,5

Odpowiedź: P(A) = 1/2 = 50%

Kiedy którego użyć?

• Permutacje: Ustawiamy WSZYSTKIE elementy w kolejności
• Wariacje: Wybieramy CZĘŚĆ elementów, kolejność MA znaczenie
• Kombinacje: Wybieramy CZĘŚĆ elementów, kolejność NIE ma znaczenia

Prawdopodobieństwo:

• P(A) = |A| / |Ω| (korzystne / wszystkie)
• P(A') = 1 - P(A) (zdarzenie przeciwne)
• Prawdopodobieństwo zawsze ∈ [0, 1]

Przeszedłeś przez wszystkie kluczowe działy:

• Funkcje kwadratowe
• Trygonometria
• Logarytmy i funkcje wykładnicze
• Pochodne (poziom rozszerzony)
• Geometria analityczna
• Ciągi liczbowe
• Kombinatoryka i prawdopodobieństwo