Zadania Maturalne - Geometria Analityczna

Zadanie (4 pkt): Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty A(-2, 3) i B(4, -1).

Krok 1: Obliczamy współczynnik kierunkowy

a = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) = (-1 - 3)/(4 - (-2))
a = -4/6 = -2/3

Krok 2: Zapisujemy równanie kierunkowe

y = ax + b
y = -2/3·x + b

Krok 3: Wyznaczamy b (podstawiamy punkt A lub B)

Podstawiamy A(-2, 3):
3 = -2/3·(-2) + b
3 = 4/3 + b
b = 3 - 4/3 = 9/3 - 4/3 = 5/3

Odpowiedź: y = -2/3·x + 5/3 lub 3y = -2x + 5 lub 2x + 3y - 5 = 0

Zadanie (5 pkt): Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej y = 2x - 3 i przechodzącej przez punkt P(4, 1).

Krok 1: Wyznaczamy współczynnik kierunkowy

Dana prosta ma współczynnik a₁ = 2
Prosta prostopadła: a₁ · a₂ = -1
2 · a₂ = -1
a₂ = -1/2

Krok 2: Zapisujemy równanie

y = -1/2·x + b

Krok 3: Podstawiamy punkt P(4, 1)

1 = -1/2·4 + b
1 = -2 + b
b = 3

Odpowiedź: y = -1/2·x + 3 lub 2y = -x + 6 lub x + 2y - 6 = 0

Zadanie (4 pkt): Wyznacz współrzędne punktu przecięcia prostych:
l₁: 2x + y - 5 = 0
l₂: x - y + 1 = 0

Rozwiązujemy układ równań:

{2x + y - 5 = 0
{x - y + 1 = 0

Metoda podstawiania:
Z drugiego równania: x = y - 1
Podstawiamy do pierwszego:
2(y - 1) + y - 5 = 0
2y - 2 + y - 5 = 0
3y - 7 = 0
y = 7/3

x = y - 1 = 7/3 - 1 = 7/3 - 3/3 = 4/3

Odpowiedź: Punkt przecięcia: P(4/3, 7/3)

Zadanie (5 pkt): Oblicz odległość punktu P(2, 3) od prostej l: 3x + 4y - 10 = 0.

Krok 1: Wzór na odległość punktu od prostej

d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)

Krok 2: Identyfikujemy dane

Prosta: 3x + 4y - 10 = 0
A = 3, B = 4, C = -10
Punkt: P(2, 3), czyli x₀ = 2, y₀ = 3

Krok 3: Podstawiamy do wzoru

d = |3·2 + 4·3 - 10| / √(3² + 4²)
d = |6 + 12 - 10| / √(9 + 16)
d = |8| / √25
d = 8/5 = 1,6

Odpowiedź: d = 8/5 = 1,6 (jednostek)

Zadanie (5 pkt): Wyznacz równanie okręgu o środku S(2, -3) i promieniu r = 4.

Wzór na okrąg:

(x - a)² + (y - b)² = r²
gdzie S(a, b) - środek, r - promień

Podstawiamy dane:

S(2, -3) → a = 2, b = -3
r = 4

(x - 2)² + (y - (-3))² = 4²
(x - 2)² + (y + 3)² = 16

Postać rozwinięta (opcjonalnie):

x² - 4x + 4 + y² + 6y + 9 = 16
x² + y² - 4x + 6y + 13 - 16 = 0
x² + y² - 4x + 6y - 3 = 0

Odpowiedź: (x - 2)² + (y + 3)² = 16

Zadanie (6 pkt): Dane są punkty A(1, 2), B(4, 6), C(7, 3).

a) Wyznacz współrzędne wektora AB⃗ (2 pkt)

b) Oblicz długość wektora AB⃗ (2 pkt)

c) Sprawdź czy wektory AB⃗ i AC⃗ są prostopadłe (2 pkt)

a) Współrzędne wektora AB⃗:

AB⃗ = [x_B - x_A, y_B - y_A]
AB⃗ = [4 - 1, 6 - 2]
AB⃗ = [3, 4]

b) Długość wektora:

|AB⃗| = √(3² + 4²)
|AB⃗| = √(9 + 16)
|AB⃗| = √25
|AB⃗| = 5

c) Prostopadłość:

Najpierw wyznaczamy AC⃗:
AC⃗ = [7 - 1, 3 - 2] = [6, 1]

Wektory są prostopadłe gdy ich iloczyn skalarny = 0:
AB⃗ · AC⃗ = 3·6 + 4·1 = 18 + 4 = 22 ≠ 0

Wektory NIE są prostopadłe

Zadanie (5 pkt): Dane są punkty A(-2, 5) i B(4, -1).

a) Wyznacz współrzędne środka odcinka AB

b) Oblicz długość odcinka AB

a) Środek odcinka:

S = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
S = ((-2 + 4)/2, (5 + (-1))/2)
S = (2/2, 4/2)
S = (1, 2)

b) Długość odcinka:

d(A, B) = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]
d(A, B) = √[(4 - (-2))² + (-1 - 5)²]
d(A, B) = √[6² + (-6)²]
d(A, B) = √[36 + 36]
d(A, B) = √72 = √(36·2) = 6√2
d(A, B) = 6√2 ≈ 8,49

Proste:

• Współczynnik kierunkowy: a = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)
• Równoległe: a₁ = a₂
• Prostopadłe: a₁ · a₂ = -1

Odległości i punkty:

• Odległość punktów: d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]
• Środek odcinka: S = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
• Odległość od prostej: d = |Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²)

Wektory:

• AB⃗ = [x₂ - x₁, y₂ - y₁]
• Długość: |v⃗| = √(x² + y²)
• Iloczyn skalarny: a⃗ · b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂