Zadania Maturalne - Ciągi Liczbowe

Zadanie (5 pkt): W ciągu arytmetycznym a₁ = 5 i różnica r = 3.

a) Oblicz a₁₀ (2 pkt)

b) Oblicz sumę S₁₀ (3 pkt)

a) Wyraz dziesiąty:

Wzór: aₙ = a₁ + (n - 1)·r
a₁₀ = 5 + (10 - 1)·3
a₁₀ = 5 + 9·3
a₁₀ = 5 + 27
a₁₀ = 32

b) Suma dziesięciu pierwszych wyrazów:

Metoda 1: Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
S₁₀ = 10(5 + 32)/2
S₁₀ = 10·37/2
S₁₀ = 370/2
S₁₀ = 185

Metoda 2: Sₙ = n[2a₁ + (n - 1)·r]/2
S₁₀ = 10[2·5 + (10 - 1)·3]/2
S₁₀ = 10[10 + 27]/2
S₁₀ = 10·37/2 = 185 ✓

Zadanie (4 pkt): W ciągu arytmetycznym a₃ = 11 i a₇ = 23. Wyznacz a₁ i różnicę r.

Krok 1: Zapisujemy wzory

a₃ = a₁ + 2r = 11
a₇ = a₁ + 6r = 23

Krok 2: Odejmujemy równania

(a₁ + 6r) - (a₁ + 2r) = 23 - 11
4r = 12
r = 3

Krok 3: Obliczamy a₁

a₃ = a₁ + 2r
11 = a₁ + 2·3
11 = a₁ + 6
a₁ = 5

Odpowiedź: a₁ = 5, r = 3

Zadanie (5 pkt): W ciągu geometrycznym a₁ = 2 i q = 3.

a) Oblicz a₆ (2 pkt)

b) Oblicz sumę S₅ (3 pkt)

a) Wyraz szósty:

Wzór: aₙ = a₁·qⁿ⁻¹
a₆ = 2·3⁶⁻¹
a₆ = 2·3⁵
a₆ = 2·243
a₆ = 486

b) Suma pięciu pierwszych wyrazów:

Wzór: Sₙ = a₁(qⁿ - 1)/(q - 1)
S₅ = 2(3⁵ - 1)/(3 - 1)
S₅ = 2(243 - 1)/2
S₅ = 2·242/2
S₅ = 242

Zadanie (5 pkt): W ciągu geometrycznym a₂ = 6 i a₅ = 162. Wyznacz a₁ i iloraz q.

Krok 1: Zapisujemy wzory

a₂ = a₁·q = 6
a₅ = a₁·q⁴ = 162

Krok 2: Dzielimy równania

a₅/a₂ = (a₁·q⁴)/(a₁·q)
162/6 = q³
27 = q³
q = 3

Krok 3: Obliczamy a₁

a₂ = a₁·q
6 = a₁·3
a₁ = 2

Odpowiedź: a₁ = 2, q = 3

Zadanie (4 pkt): Liczby 2x + 1, 3x - 2, 5x - 7 tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz x i zapisz ten ciąg.

Krok 1: Własność ciągu arytmetycznego

Jeśli a, b, c tworzą ciąg arytmetyczny, to:
b = (a + c)/2 lub równoważnie: 2b = a + c

Krok 2: Zapisujemy równanie

2(3x - 2) = (2x + 1) + (5x - 7)
6x - 4 = 2x + 1 + 5x - 7
6x - 4 = 7x - 6
-4 + 6 = 7x - 6x
2 = x
x = 2

Krok 3: Wyznaczamy wyrazy ciągu

a₁ = 2·2 + 1 = 5
a₂ = 3·2 - 2 = 4
a₃ = 5·2 - 7 = 3

Krok 4: Weryfikacja

r = a₂ - a₁ = 4 - 5 = -1
a₃ - a₂ = 3 - 4 = -1 ✓
To jest ciąg arytmetyczny o r = -1

Odpowiedź: x = 2, ciąg: 5, 4, 3

Zadanie (6 pkt): W amfiteatrze pierwszy rząd ma 20 miejsc, a każdy następny o 4 miejsca więcej niż poprzedni. Ile miejsc jest w 15. rzędzie? Ile łącznie miejsc jest w pierwszych 15 rzędach?

Krok 1: Rozpoznajemy ciąg arytmetyczny

a₁ = 20 (pierwszy rząd)
r = 4 (różnica)
Szukamy a₁₅ i S₁₅

Krok 2: Liczba miejsc w 15. rzędzie

a₁₅ = a₁ + (15 - 1)·r
a₁₅ = 20 + 14·4
a₁₅ = 20 + 56
a₁₅ = 76 miejsc

Krok 3: Łączna liczba miejsc w 15 rzędach

S₁₅ = 15(a₁ + a₁₅)/2
S₁₅ = 15(20 + 76)/2
S₁₅ = 15·96/2
S₁₅ = 15·48
S₁₅ = 720 miejsc

Odpowiedź: W 15. rzędzie jest 76 miejsc, łącznie 720 miejsc w pierwszych 15 rzędach.

Zadanie (6 pkt): Suma pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi Sₙ = 3n² + 2n. Wyznacz wzór na n-ty wyraz tego ciągu.

Krok 1: Wzór na n-ty wyraz przez sumy

aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ (dla n ≥ 2)

Krok 2: Obliczamy Sₙ₋₁

Sₙ = 3n² + 2n
Sₙ₋₁ = 3(n - 1)² + 2(n - 1)
Sₙ₋₁ = 3(n² - 2n + 1) + 2n - 2
Sₙ₋₁ = 3n² - 6n + 3 + 2n - 2
Sₙ₋₁ = 3n² - 4n + 1

Krok 3: Obliczamy aₙ

aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁
aₙ = (3n² + 2n) - (3n² - 4n + 1)
aₙ = 3n² + 2n - 3n² + 4n - 1
aₙ = 6n - 1

Krok 4: Sprawdzamy dla n = 1

a₁ = 6·1 - 1 = 5
S₁ = 3·1² + 2·1 = 5 ✓

Odpowiedź: aₙ = 6n - 1

Zadanie (6 pkt): W ciągu geometrycznym a₁ = 64 i a₄ = 8. Wyznacz iloraz q i oblicz sumę S₆.

Krok 1: Wyznaczamy q

a₄ = a₁·q³
8 = 64·q³
q³ = 8/64 = 1/8
q = ³√(1/8) = 1/2
q = 1/2

Krok 2: Obliczamy S₆

Sₙ = a₁(1 - qⁿ)/(1 - q)
S₆ = 64(1 - (1/2)⁶)/(1 - 1/2)
S₆ = 64(1 - 1/64)/(1/2)
S₆ = 64(63/64)/(1/2)
S₆ = 63/(1/2)
S₆ = 63·2
S₆ = 126

Odpowiedź: q = 1/2, S₆ = 126

Ciąg arytmetyczny:

• aₙ = a₁ + (n - 1)·r
• Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
• r = aₙ - aₙ₋₁
• Własność: 2aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₊₁

Ciąg geometryczny:

• aₙ = a₁·qⁿ⁻¹
• Sₙ = a₁(qⁿ - 1)/(q - 1) lub a₁(1 - qⁿ)/(1 - q)
• q = aₙ/aₙ₋₁
• Własność: aₙ² = aₙ₋₁·aₙ₊₁